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  • 可以24小时的棋牌-撲克牌算24的難度指數TOP10,你多久能通關嗎?兼談算法~

      算法是數學及其應用的重要組成部分,算法的思想貫穿整個高中數學的學習之中,對數學思想方法的理解和掌握其道至關重要的作用,由于算法思想的本質是程序化解題的思想,因此有利于培養學生思維的條理化、邏輯性以及構造性的解決數學問題的能力,同時還是進一步學習計算機科學技術的基礎。下面通過一個簡單的算24點游戲來探討算法的學習。

      撲克牌算24點是一種非常方便開展并受歡迎的數學游戲, 特別是在計算機時代之前.

      隨機的取出四張撲克牌(除去大、小王), 第一個用所有四張牌上的數值(A=1, J=11, Q=12, K=13),和基本的四則運算(+ -× , /) 算出24的玩家獲勝.

      1.幾個例子

      對于組合{1,2,3,4}

      我們可以找到幾種解法: (3 + 2 + 1) × 4, 4 × 3 × 2 × 1, (4 + 2) × (3 + 1) 。有人可能會說4×(3+2+1)是另外一種獨立的解法.可是我們認為應被視為雷同的步驟。

      也可能有些組合根本就無解。如 {1,1,1,1} 、{1,5,11,13} 無解。除非如果是腦筋急轉彎 允許引進規則以外的運算, 那樣的話, 我們有 (1!+1!+1!+1!)!=24, 或5^(13 - 11) - 1=24,當然這不在我們討論范圍內。

      2.牌型組合

      首先我們可能抽到的牌型組合(只考慮牌面點數可以创建房的棋牌游戏,不考慮花色)有多少種可能呢?

      按抽到的4張牌相同點數牌的張數分成五種情況討論,分別為 4、3+1、2+1+1、2+2、1+1+1+1 。

      1、取4個不同樣的牌(1+1+1+1),

      2、取三樣(2+1+1),

      3、取兩樣、每樣取2個(2+2),

      4、某樣取三個、另取一個(3+1),

      5、只取一樣(4),

      所以累計可能出現的牌型有 715+858+78+156+13=1能一元入场的炸金花棋牌820種。

      那么問題來了,針對1820種牌型組合抽到的任一種牌型,我們如何判斷是否能算出24,如果能算出,有哪些不重復的計算方式呢。

      好在我們有了計算機,借助計算程序,如何設計一種算法來實現呢?

      3.算法的設計

      輸入:n1,n2,n3,n4

      輸出:若能通過+ - * / 和括號混合運算,得到運算結果為24,則輸出一個對應的運算表達式

      如何用程序簡單實現找到算式是程序初學者關注的問題,網絡有許多這樣的文章,有遞歸法、回溯法、窮舉法。

      但窮舉法最為簡單、易于理解。

      (1)窮舉法:

      對4個數字全排列有4!=24種排列。

      4個數字之間共需要3個運算符,同一個運算符可以重復出現,則有4x4x4=64種情況。

      對于4個數字而言,共有以下5中加括號的方式:

      (A(B(CD))),(A((BC)D)),((AB)(CD)),((A(BC))D),(((AB)C)D)。

      所以遍歷的表達式最多有24*64*5=7680種。

      對這組排列逐一進行運算,看是否是24,就可以得到最終所有式子了。在運算過程中除法的特殊性——除數不能為零。因為可能會用到除法,所以要考慮精度問題,通過結果減去24取絕對值與一個接近0的小數(如0.001)比較,如小于它,即可判定結果是24。

      以目前計算機的運算能力把1820*7680這么多表達式都計算一遍,應該是毫不費勁。

      應該注意的是,4個數字的窮舉計算是有限的,尚可接受。如果參與計算的數字增多這種窮舉構造法的復雜度至少是指數級的,因此不適用于數字較多的情況。

      (2)如何剔除雷同的計算組合

      任給一個可解的組合, 我們總是想得到 全部的解法. 計算機通過上述所有可能的組合遍歷計算,會搜尋出所有可能的組合解答,但這其中有些解法是不同的, 有些則明顯 等價, 有些則沒有那么明顯。如何在所有的等價解法中, 只給出一個代表. 選出最簡約的那個解法. 就是我們程序算法中需要考慮的簡化冗余的解法的理論”。

      簡單搬運一下的高手總結的消除冗余雷同算式的規則:

      記號:

      a, b, c, d 是數字 (1,2,3 等), x, y, z, w 是表達式 如: 1, 1 + 2, (1 + 2 × 6) /5, 等. 如果兩個表達式 x 和 y 等價, 則寫做 x y, 比如: a + b b + a, a - (b - c) a + c - b 等. 如果兩個表達式 x 和 y 等價,并且我們給予 y 優先權, 因為y更簡約或者更易于人機交互, 則寫做 x → y . 比如: a- (b - c) a + c - b , 不過我們給予后者優先權, 所以我們有 a - (b - c) → a + c - b± 是 + 或者 -, 同時 ×/ 是 × 或 /.

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      算數運算的等價關系

      這部分都是很基本的等價關系. 1 × 2 × 3 × 4 和 (4 × 3 × ( 2 × 1)) 明顯完全一樣,不過多數人會喜歡第一種解法,因為解法一比較簡潔. 第一部分的規則可以用一句話概括:把數字換成變量, 如果兩個表達式對于任意整數變量都有一樣的值, 那么這兩個表達式等價. 例如: 對于組合 {1,2,3,4} 和以下兩個表達式: (3 + 2 + 1) × 4 和 4 × (1 + 2 + 3) : , 我們先把 1 換作 a, 2 換作 b, 3 換作 c 同時 4 換作 d, 現在這兩個表達式變為 (c + b + a) × d 和 d × ( a + b + c). 對任何的整數組合 {a,b,c,d}, 這兩個表達式都有一樣的值. 所以我們知道這兩個表達式等價. 在 (3 + 2 + 1) × 4 和 4 × (1 + 2 + 3) 中, 我們更喜歡前者因為對某些人機交互系統它更簡潔(還記得計算器嗎?), 因為輸入(3 + 2 + 1) × 4 無需輸入括號. 也就是 4 × (1 + 2 + 3) → (3 + 2 + 1) × 4. 一個判斷兩個等價表達式優先權的通用規則是: 我們把比較復雜的部分放到左邊. 在給出第一部分的具體規則之前, 我們需要最后一個注腳: 對表達式 x 和 y (別忘了 x 可以是 a + b), 當我們寫出 x ×/ y, 如果需要的話,我們在 x 或 y 外面加上括號.

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      (1) 交換律:x ± y ± y + x x × y y × x x ×/ y ×/ z x ×/ z ×/ y 優先權 1: - 和 / 在最右邊, 例如. - a + b → b - a, a / b × c → a × c / b 優先權 2: 復雜的表達式放在最左邊, 例如. c + a × b → a × b + c, a × (b + c) → (b + c) × a ...

      (2) 結合律:x + y ± z ( x + y ) ± z x + (y ± z ) x × y ×/ z ( x × y ) ×/ z x × (y ×/ z ) ( x / y ) / z x / y / z 優先權: 括號比較少的, 比如: (a + b) + c → a + b + c, (a / b) / c → a / b / c .

      (3) + 和 - 的交換性, 以及 × 和 / 的交換性:x - (y - z) x + z - y x × z / y x/(y/z) x /(y × z) x/y/z 優先權: 括號比較少的, 例如. a - (b - c) → a + c - b, a/(c/b) → a × b / c

      (4) 減號越少越好:a - (b - c) ×/ d a + (c - b) ×/ d, 注意: 這條規則不被規則(3) 包含. 優先權: 通過規則 (3) 的優先權我們有: a - (b - c) ×/ d → (c - b) ×/ d + a

      (5)平局的情況: a × b × c × d 還是 d × c × b × a, (a + b) × (c + d) 還是 (d + c) × (a + b)? 優先權: 無所謂啦. 我喜歡大的數字在最左邊, 也就是: 1 × 2 × 3 × 4 → 4 × 3 × 2 × 1, (1 + 2) × (5 + 3) → (5 + 3) × (2 + 1)

      表達式的值是 0 或 1 的特殊情況

      (6) 1 的 乘法/除法 : x × y x / y, 如果表達式 y 的值是 1.優先權: x × y, 例如: (13 + 11) / (5 - 4) → (13 + 11) × (5 - 4). 類似的: (12 + 6 × 2) / 1 → (12 + 6 × 2) × 1.

      (7) 表達式 × z 的位置, 當 z 的值是 1 的時候: 如果 z=1, 我們有: x + y × z x × z + y (x + y ) × z 優先權: (x + y ) × z 因為其對稱性

      (8) 特別的組合 {a, b, c, c} : a × b × c /c a × b + c - c, 以及 ( a + b ) × c /c a + b + c - c .優先權: a × b + c - c 或者 a + b + c - c

      (8.b) 最后的組合 {a, b, 1, 1} : a × b × 1 × 1 a × b + 1 - 1, 以及 ( a + b ) × 1 × 1 a + b + 1 - 1 .優先權: a × b + 1 - 1 或者 a + b + 1 - 1

      (8.c) 游戲中有 24的情況 : 這種情況只有當你玩大游戲時,有24這種大的數字存在才有意義. 24 × x / y → 24 + x - y, 這里 x 和 y 是兩個有同樣值的表達式24 + a - b - c → 24 + b + c - a24 + c - x 比 x + 24 - c 有優先級, 這里 x 是一個有兩個數字的表達式, 當然 c 和 x 有同樣的值. 這三條看起來很隨意的規則減少了許多多余的解法當24在游戲之中。

      (8.d) 游戲中有 23 或者 25的情況 : 這種情況只有當你玩大游戲時,有23,25這種大的數字存在才有意義. 如果這四個數是 23 a b c=a+b 那么我們有下面2個解法:c/(a+b) + 23 (a+b)/c + 23(a+b)/c + 23 比 c/(a+b) + 23 有優先級. 同理 25 - (a+b)/c 有優先級.

      因此得到算法:

      通過窮舉構造所有的數字算式;篩選出計算結果是24的算式;將算式中的數字用符號替換,并對得到的代數式做等價判斷,每個等價類選出一個代表;輸出代表代數式對應的數字算式。具體的程序設計網絡上有很多介紹,就不引用贅述了。通過計算機程序,給出結論:

      1820種牌型組合中,有1362組可以算出24,高達74.8%的牌型是能得出答案的。

      在總共 1362 個可解組合中, 通過計算機找到了 3017 個獨立解。

      515 個可解組合有 1 個獨立解;427 個可解組合有 2 個獨立解;216 個可解組合有 3 個獨立解;125 個可解組合有 4 個獨立解;031 個可解組合有 5 個獨立解;017 個可解組合有 6 個獨立解;017 個可解組合有 7 個獨立解;008 個可解組合有 8 個獨立解;002 個可解組合有 9 個獨立解;003 個可解組合有 10 個獨立解;而(2 4 8 10) 有 11 個獨立解,是有有著最多的不同計算方法的。

      最后,請大家開動腦筋來解答TOP10的算24組合,你用多久可以算出來?

      {2,3,8,13};

      {4,8,8,11};

      {1,8,12,12};

      {5,5,7,11};

      {3,6,6,11};

      {2,5,5,10};

      {3,3,8,8};

      {1,3,4,6};

      {1,4,5,6};

      {2,3,5,12}.

      歡迎大家給出答案

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